证明“3x+1”猜想可用第三类数学归纳法
本帖最后由 小金牛 于 2024-7-10 23:29 编辑该问题是两个算式：3x+1......(1);和x/2......(2);构成的迭代算式组合，x 取任意整数；当x 属于奇数时，选择（1）式迭代；当x 属于偶数时，选择（2）式迭代；
其最终结果会塌陷成黑洞421之中。 我们先把2^y 计算并保存在一个格中：2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,2^9=512,2^10=1024,2^11=2048,2^12=4096,......;
现在来讨论3x+1=?；
令3x+1=2^n,有多少个不同的解？
显然：
当x=1时， 有 3*1+1=4=2^2， 即有解；
当x=5时，有 3*5+1=16=2^4， 即有解；
当x=21时，有 3*21+1=64=2^6， 即有解；
所以，有限的案例得以验证成立。
上面的求解可利用2^y表格，如3x+1=64,求x的整数解，得x=21。
假设没有比64大的整数，使3x+1=2^n成立，是正确的。
但是，当x=85时，有3*85+1=256=2^8成立，则原假设不成立。
即有比指定的整数64大的整数，使3x+1=2^n成立。
依此类推可知，
由于整数有无穷多个，故3x+1=2^n,有无穷多个解。
再令：x=x+1,代入（1），有3（x+1）+1,即3x+4。
现在来讨论3x+4=?；
令3x+4=2^m,有多少个不同的解？
显然：
当x= 4时， 有 3*4+4=16=2^4， 即有解；
当x=20时，有 3*20+4=64=2^6， 即有解；
当x=84时，有 3*84+4=256=2^8，即有解；
所以，有限的案例得以验证成立。
假设没有比84大的整数，使3x+4=2^m成立，是正确的。
但是，当x=1364时，有3*1364+4=4096=2^12成立。
则原假设不成立。
即有比指定的整数84大的整数，使3x+4=2^m成立。
同理可知，3x+4=2^m，有无穷多个解。
这样我们就有证明3x+1的两个前提条件：3x+1=2^n,3x+4=2^m。
都有无穷多个解。
下面我们要用到《初论自然数的结构》中证明哥解时使用的的第三类数学归纳法。
证明如下：
（1）有限的案例成立：
当x=1时， 有3x+1=4=2^2,故成立；
当x=5时， 有3x+1=16=2^4, 故成立；
当x=21时，有3x+1=64=2^6, 故成立；
（2）根据前述证明 3x+1=2^n,有无穷多个解，故成立；
再来看3x+4=2^m的情况：
当x= 4时， 有 3*4+4=16=2^4， 故成立；
当x=20时，有 3*20+4=64=2^6， 故成立；
当x=84时，有 3*84+4=256=2^8，故成立；
（3）根据前述证明 3x+4=2^m,有无穷多个解，故成立；
（4）由（2）和（3），可知，3x+1=2^y在x=x时，命题
3x+1=2^y,有无穷多个解成立；当x=x+1时,
命题3x+1=2^y，有无穷多个解也仍然成立。
由于x与x+1,两个数，具有连续性。
（5）满足第三类数学归纳法的全部判定条件，可以证明：
3x+1=2^y,有无穷多个解成立。
回到3x+1(1)和 x/2(2);
因为 已知3x+1=2^y有无穷多个解，即在（1）式和（2）式的联立迭代中，
经过有限次计算，总有=2^y成立。一旦3x+1=2^y时，迭代就在
（ 2）式中反复进行，最终必会得到2/2=1。即x=1。
证毕。
说点题外话，该证明的想路源自于解析几何，y=3x+1,代表的是一族倾斜的直线，有无穷多条直线构成，
y=2^x,代表的是一族间距越来越大的水平直线。
两个族线之间必定有无数个交点，但不一定是整数解，也不一定是2^x。所以，增加难度。
再加上选择条件可以在（1）式和（2）之间，具有不确定性，
2^x与普通的偶数2n个性又不同，这样，又产生了另一种不确定性。
另外我们还想说一下对该命题引伸到因果关系的一些看法。表面上来看该问题好像是和初始输入条件x无关，
总有同样的输出。但这是错误的理解把因果关系弄反了。正确的理解是：相同的原因，在不确定性的选择下，
产生出无数个不同的结果。就像同样的树杆上长出了不同的树叶一样。
这都是相同的原因，在不确定的条件下，出现不一样的结果。
小金牛 2024.7.10.
证明“3x+1”猜想可用第三类数学归纳法在网上查询不到，请楼主帮解决，谢谢！小金牛。 建议这位朋友可以以自己的专业知识去360问答社区（http://wenda.so.com/）相关分类中去帮助他人，赢取金币，兑换实物并从中得到助人的快乐！
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